Леонид Бичевин родился 27 декабря 1984 года в Климовске. После 9-го класса школы пошёл в сельскохозяйственное училище Коломны, но через два года бросил его, решив стать актёром. Поступил в Театральное училище имени Щукина на курс Юрия Шлыкова. В 2006 году сразу после получения диплома принят в труппу Театра имени Вахтангова. На сцене театра Бичевин играет Троила в спектакле Римаса Туминаса «Троил и Крессида» по трагедии Уильяма Шекспира.
Первую заметную роль в кино Леонид Бичевин сыграл в скандал